Perkolation und die Macht der Bilder

Schwierige Theorien lassen sich oft mit einfachen Bildern suggestiv vermitteln. So im Vortrag von Wendelin Werner über “Randomness, the Continuum and Complex Analysis”. Es ging um Site Percolation: Punkte werden zufällig schwarz und weiß gefärbt und man soll dann einen einfarbigen Weg von ganz links nach ganz rechts oder von ganz unten nach ganz oben finden.
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Wendelin Werner sucht nach einem einfarbigen Weg durch das Labyrinth.

Bevor das Publikum Gelegenheit hatte zu antworten (aber natürlich hatten alle umstandslos einen Weg gefunden) kam das folgende Bild
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Hier wird es schon etwas schwieriger. Wer findet den Weg?

Perkolationstheorie beschäftigt sich mit dieser Art von Problemen und vor allem auch damit, was passiert, wenn die beiden Farben nicht mehr gleichwahrscheinlich sind. Wie ungleich müssen die Farbwahrscheinlichkeiten sein, damit man “mit Sicherheit” (mit Wahrscheinlichkeit 1) einen Weg findet?

Man kann das Problem natürlich nicht nur für quadratische Gitter, sondern auch für Dreiecke, Honigwaben, was immer, betrachten. Wie ich aus dem Vortrag gelernt habe, ist einer der wichtigsten Erfolge der Mathematik auf diesem Gebiet der Beweis der “Konformen Invarianz”: wenn sich ein Gebiet durch eine winkelerhaltende Abbldung auf ein anderes abbilden läßt, dann haben beide Gebiete dieselbe kritische Perkolation, d.h. denselben Wert für die Farbwahrscheinlichkeit, ab dem man mit Wahrscheinlichkeit 1 einen Weg findet. Diese konforme Invarianz ermöglicht es, für viele physikalisch interessante Anwendungen den genauen Wert der kritischen Perkolation zu berechnen.


Für Interessierte gibt es hier den gesamten Vortrag von Werner im Video.

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ist Mathematiker und interessiert sich besonders für Geometrie und Topologie. Seit zwei Jahren ist er Research Fellow am Korea Institute for Advanced Studies in Seoul. Seit Anfang 2008 betreibt er den Mathlog bei den deutschsprachigen scienceblogs: http://scienceblogs.de/mathlog

3 comments Write a comment

  1. Schön, wenn Aspekte der Perlokationstheorie und gar Begriffe wie die Konforme Invarianz auch von Laien verstanden werden können. Das wäre für Laien immerhin ein Zugang zu mathematischen Forschungsgebieten. Dennoch wird das wohl nicht genügen so etwas wie eine an mathematischer Forschung interessierte Öffentlichkeit zu formen. Ganz anders als in der Physik, wo es zur Allgemeinbildung gehört, Begriffe wie dunkle Materie und dunkle Energie zu kennen und gar die damit zusammenhänenden Probleme zu verstehen, können wohl nicht einmal alle Mathematiker sagen, inwieweit ihr Forschungsgebiet die Mathematik als Ganzes vorwärtsbringt.

  2. @ Martin Holzherr: Dem Verständnisproblem mit der konformen Invarianz (und der Perkolationstheorie) kann abgeholfen werden. Es trifft sich günstig, dass Wendelin Werner über eine gemeinsame Arbeit mit Stas Smirnov (auch so ein Fields-Preisträger) gesprochen hat. Und über dessen Werk hatten wir einen Artikel im “Spektrum der Wissenschaft”, mit Perkolation und konformer Invarianz.

  3. Pingback: Meine Beiträge im HLF-Blog – Mathlog

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