Lagrange-Punkte? Wie bitte?

In naher Zukunft wird eine Ariane 5 ECA die Raumsonden Herschel und Planck auf den Weg zum Lagrangepunkt L2 schicken. Dort sollen in den den kommenden Jahren auch das James Webb Space Telescope, die Astrometriemission Gaia und sicher noch eine Vielzahl weiterer Raumfahrzeuge, zumeist Weltraumteleskope, positioniert werden. Worum handelt es sich bei diesen Lagrangepunkten und was ist an ihnen so besonders?

Herschel 3D-Modell, Quelle: ESA(The English version of this article is here)

Bereits im achtzehnten Jahrhundert stellte der italienische Mathematiker Joseph-Louis Lagrange fest, dass es in einem System mit zwei massereichen Körpern (also beispielsweise der Sonne und einem Planeten, aber auch einem Planeten und einem Mond), fünf besondere Gleichgewichtspunkte gibt, die ihrem Entdecker zu Ehren „Lagrangepunkte“ genannt werden. Von diesen fünf sind insbesondere zwei von praktischem Interesse für die Raumfahrt, und zwar der Lagrangepunkt L1, zwischen Erde und Sonne und der Lagrangepunkt L2, der von der Sonne aus gesehen „hinter“ der Erde liegt. Beide befinden sich in einem Abstand von etwa 1.5 Millionen km von der Erde.

Darstellung der Hill-Sphaeren und der Lagrange-Punkte, Quelle: WikipediaDer L1-Punkt ist für die Sonnen-beobachtung günstig, der L2-Punkt dagegen für orbitale Teleskope aller Art. Man kann von dort aus viel besser als aus einem Erdorbit im Jahresverlauf das gesamte Himmels-gewölbe beobachten, Mond und Erde sind weit weg und noch dazu fast in einer Linie mit der Sonne; die empfindlichen Instrumente an Bord dürfen und sollen zwar in der Regel keinen dieser Körper im Blickfeld haben, das ist dort draußen aber einigermaßen leicht zu bewerkstelligen.

Wie kann man sich das Platzieren eines Körpers in einem dieser Punkte vorstellen? Nun, zunächst sollte man sich von der Vorstellung, etwas direkt in diesen Punkten zu positionieren, verabschieden. Es sind instabile Punkte, und noch dazu ist ihre Position relativ zur Erde variabel, da die Erdbahn exzentrisch ist und noch andere Kräfte wirken als allein die Schwerkraft von Sonne und Erde.

Alle „im Lagrangepunkt“ platzierten Körper fliegen in Wirklichkeit auf einer Bahn um die Sonne. Das ist schon einmal eine fundamentale Feststellung, die die weitere Vorstellung ungemein erleichtert – mir geht das zumindest so.

Die Gesetze der Himmelsmechanik verlangen, dass ein Körper auf einer niedrigen Bahn sich schneller bewegt als ein Körper auf einer hohen Bahn. Wenn nun ein Körper im L1-Punkt ist, ist er der Sonne näher als die Erde, also müsste er eigentlich der Erde vorauseilen. Ein Körper im L2-Punkt dagegen ist weiter von der Sonne entfernt als die Erde, also müsste er eigentlich der Erde hinterherhinken. In beiden Fällen müsste sich also der Abstand zur Erde kontinuierlich vergrößern … das ist auch bei jeder anderen heliozentrischen Bahn der Fall, nur nicht bei den beiden Ausnahmen, um die es hier geht.

Stellen wir uns einen Körper im L2-Punkt vor. Diesen zieht die Schwerkraft der Sonne nach „innen“, aber nicht nur die … die Schwerkraft der Erde zieht in dieselbe Richtung. Die Erde besitzt zwar viel weniger Masse, ist aber auch viel dichter am Körper, nämlich nur etwa 1.5 Millionen km. Die Sonne ist etwa 100mal weiter entfernt. In Summe erscheint es für den Körper so, als zöge er seine Bahn um einen etwas schwereren Stern als die Sonne. Deswegen braucht er im L2-Punkt etwas mehr Geschwindigkeit und zwar genau so viel, dass er, genau wie die Erde, 365.25 Tage für einen kompletten Umlauf um die Sonne braucht. Ohne die Schwerkraft der Erde würde er für einen Umlauf etwa fünfeinhalb Tage länger brauchen.

Im L1-Punkt ist es gerade umgekehrt. Da ziehen Sonne und Erde in unterschiedliche Richtungen, die Sonne erscheint also dem Körper etwas leichter als sie wirklich ist, und es reicht ihm eine niedrigere Geschwindigkeit, als eigentlich seinem Sonnenabstand entspricht, sodass ein Umlauf auch wieder genau ein Erdjahr dauert, und nicht weniger.

Man kann sich leicht vorstellen, dass dieser „Trick“ nur funktionieren kann, wenn der Körper, die Erde und die Sonne auf einer Linie ausgerichtet sind, denn nur dann überlagern sich die Kräfte wie erforderlich. Je weiter der Körper in irgendeine Richtung von der idealen Position abweicht, desto schneller wird er sich entfernen. Es handelt sich um instabile Gleichgewichte, so wie eine Erbse, die auf der runden Spitze eines Zuckerhuts balanciert.

Gaia-Astrometrie-Teleskop, Quelle:ESAIn der Realität ist der Flug direkt in den Lagrangepunkten nicht möglich, denn die Punkte selbst sind nicht einfach nur stationäre Punkte relativ zur Erde, sondern vielmehr Regionen, die leicht variabel sind. Es wäre auch gar nicht wünschenswert, genau in der Linie Erde-Sonne zu sein. Ein Raumfahrzeug direkt im L1-Punkt wäre, von der Erde aus gesehen, immer genau vor der Sonne, was den Funkverkehr von Sonde zur Erde beeinträchtigen würde. Ein Raumfahrzeug direkt im L2-Punkt dagegen wäre immer im Halbschatten der Erde. Viel schwerer wiegt aber, dass der Aufwand zur Positionsregelung der Sonden, wären sie exakt in diesen in diesen theoretischen Lokationen, gewaltig wäre.

Nun ist es glücklicherweise aber gar nicht notwendig, direkt in den Gleichgewichtspunkten zu fliegen. Wenn die Bahn der Körper um die Sonne leicht exzentrisch und auch gegenüber der Erdbahn geneigt ist, beschreibt seine Position, von der Erde aus betrachtet, eine ellipsenähnliche Figur (Lissajous-Kurve) um den jeweiligen Lagrange-Punkt herum. Es gibt verschiedene Klassen dieser Figuren. Ohne allzusehr in Details zu versinken, kann man sie in „weite Schleifen“ und „enge Schleifen“ unterteilen, wobei die Abweichung vom Lagrangepunkt von wenigen hunderttausend bis zu einer Million km betragen kann.

Grafische Darstellung einer Lissajous-Bahn samt Transfer, Quelle: ESA Ein Umlauf auf so einer „scheinbaren Schleife“, die ja erst dadurch entsteht, dass man die gestörte Bahn des Körpers um die Sonne in einem Koordinatensystem darstellt, das sich mit der Bahn der Erde mitdreht, dauert ein halbes Jahr. Die „Bahngeschwindigkeit“ relativ zur Erde ist dort nur noch gering, es handelt sich fast schon um einen Formationsflug. Das erklärt auch, warum es vom Start an zwei Monate oder mehr dauert, bis die Zielbahn erreicht ist: Die Bahnenergie reicht gerade eben aus, um nicht mehr auf einer Ellipse zur Erde zurückzukehren, da wird bei großen Entfernungen die Geschwindigkeit sehr klein und die Sonden kommen nur noch langsam – aber immer noch mit einigen Hundert Meter pro Sekunde – voran.

Ob eine Raumsonde in eine Bahn eingeschossen wird, die eine „weite Schleife“ oder eine „enge Schleife“ beschreibt, ist von technischen und wissenschaftlichen Anforderungen abhängig. Das Infrarotteleskop Herschel wird in einer weiten Lissajous-Kurve fliegen, Planck dagegen braucht eine „enge Schleife“.

Beide sind instabil – wäre es möglich, auch die allerkleinsten Störungen der Bahn haargenau zu berechnen und den Bahneinschuß absolut fehlerfrei hinzubekommen, könnten sie theoretisch ohne Korrekturmanöver auskommen. Die ist natürlich in der Praxis nicht möglich, die Bahnen müssen gesteuert werden – es reicht aber eine geringe Menge an Treibstoff aus, um sicherzustellen, dass während der Missionsdauer die Sonde nicht „abhaut“, zurück zur Erde fällt oder auf Nimmerwiedersehen im interplanetaren Raum verschwindet.

Die Dynamik der Bahnen in diesen instabilen Gleichgewichtsregionen ist knifflig, aber doch beherrschbar. Die oft geäußerte Vorstellung, man habe es hier mit einer chaotischen, also unvorhersagbaren und deswegen auch nicht steuerbaren Situation zu tun, ist unzutreffend. Das Sonnenobservatorium SoHO auf seiner weiten Schleife (einer Halo-Bahn) um den L1-Punkt wird dort bereits seit über einem Jahrzehnt betrieben.

Auch die Missionen Herschel und Planck sind bahnmechanisch durchaus anspruchsvoll, aber doch beherrschbar – interessante Probleme für einen Raumfahrtingenieur.

Die Bahnen von Herschel (blau) und Planck (rot), Quelle: ESAInteressant ist nicht nur die operationelle Zielbahn, sondern auch der Weg dorthin. Die Bahnen in den Lagrange-Regionen verzweigen nämlich zu energetisch gleichartigen schlauchförmigen Gebilden, sogenannten Mannigfaltigkeiten. Diese Mannigfaltigkeiten führen an ganz andere Stellen im Sonnensystem – das hat eine ganz konkrete praktische Bedeutung, denn es reicht, die Raumsonde in die Mannigfaltigkeit einzuschießen, sie wird dann mit nur minimalem weiterem Zutun Monate später in die Zielbahn flutschen. Schwer vorstellbar, aber mathematisch beweisbar und auch sehr nützlich. (Nebenbei bemerkt: die Existenz solcher Mannigfaltigkeiten ist auch die Grundlage für die Theorien um den sogenannten „interplanetaren Superhighway“, auf dem unter Ausnutzung der Vielkörpermechanik Flüge quer durchs Sonnensystem mit geringerem Energieaufwand – aber wahrscheinlich sehr langer Flugdauer – möglich werden sollen.)

Von der „weiten Schleife“, in der Herschel fliegen soll, zweigt eine Mannigfaltigkeit ab, die bis auf wenige 100 km Höhe über der Erde führt. Man muss also nur zum richtigen Zeitpunkt starten und in die richtige Richtung auf Fluchtgeschwindigkeit beschleunigen, schon ist man auf der Mannigfaltigkeit und auf dem richtigen Weg zur Zielbahn.

Transfer in engle-Lissajous-Bahn mitttels Mond-Swingby, Quelle: NASA-GSFC Zu Plancks „enger Schleife“ ist das etwas schwieriger, denn die von dort aus verzweigende Mannigfaltigkeit reicht nicht bis so dicht zur Erde, sie passiert die Erde in einigen Zehntausend km Abstand. Um in diese Mannigfaltigkeit zu gelangen, muss man also in eine hohe, exzentrische Bahn einschießen und dann mit einem recht erheblichen Manöver der Triebwerke der Raumsonde selbst in die Mannigfaltigkeit „abbiegen“. Oder aber, man macht sich die Tatsache zunutze, dass die Mannigfaltigkeit die Bahnbahn kreuzt – man könnte auch einen geeigneten Zeitpunkt abwarten und das Abbiegen in die Mannigfaltigkeit erreichen, indem man durch einen Mondvorbeiflug Schwung holt.

Im Fall von Planck wird noch ersteres gemacht, aber zukünftige Missionen werden auch die Option des Mondvorbeiflugs nutzen und damit Treibstoff sparen.

VDas James Webb Space Telescope, Quelle: ESAielleicht erscheint der eine oder andere Punkt auf Anhieb noch etwas unanschaulich, aber man sollte sich an die beschriebenen Umstände gewöhnen: Gerade der L2-Punkt ist so nützlich als Standort für orbitale Teleskope aller Art, dass man in Zukunft noch viel davon hören wird. Da macht sich gleich noch ein weiterer Vorteil bemerkbar: Weil in der Region ein instabiles Gleichgewicht herrscht, ist sie selbstreinigend. Er können sich dort, anders als im Erdorbit, keine defekten oder abgeschalteten Sonde, Oberstufen und anderer Müll ansammeln.

L2 bleibt sauber.

Weitere Information

In dieser Präsentation gibt der Mathematiker und ESA-Missionsanalytiker Martin Hechler, einer der weltweit führenden Experten für Entwurf und Berechnung von Bahnen um die Lagrange-Punkte, einen vertieften Einblick in die Materie, wobei auch die Freunde höherer Mathematik voll auf ihre Kosten kommen.

Hier ist ein Artikel in Sterne und Weltraum von Martin Hechler zum Thema.

Michael Khan

Ich bin Luft- und Raumfahrtingenieur und arbeite bei einer Raumfahrtagentur als Missionsanalytiker. Alle in meinen Artikeln geäußerten sind aber meine eigenen und geben nicht notwendigerweise die Sichtweise meines Arbeitgebers wieder.

6 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Erklärung der diversen Umlauf-V

    Endlich mal eine souveräne und leicht verständliche Erklärung der Lagrange Punkte und deren Geschwindigkeitsverhalten.

  2. Danke für die anschauliche Erklärung.

    Beim L1 stellt sich mir allerdings die Frage, welche Auswirkung zB. die Venus hat, wenn sie sich zwischen Sonde und Sonne schiebt. Dann müsste die Sonde doch wegen der dann scheinbar höheren Sonnenmasse entweder beschleunigen oder zumindest den Abstand zur Erde vergrößern.

    Oder „federt“ die Umlaufbahn der Sonde um den L1 das ab?

    • Michael Khan

      Die Bahn ist dauernd Störungen ausgesetzt, deren Richtung und Betrag sich ändert. Das Beispiel der Venus ist da noch ein unkritischer Fall, denn die Bahnen der Planeten und damit auch ihre gravitative Anziehung sind auf lange Zeiten vorausberechenbar und können damit in die Navigation der Sonde um den Lagrange-Punkt einbezogen werden. Schlimmer sind solche Effekte wie Solardruckkräfte, Rückkopplungen von Lageregelungsmanövern, Ausgasen etc. wegen des nicht vorausbestimmbaren Anteils. Eben deswegen hat man ja im Endeffekt die Notwendigkeit zur Bahnsteuerung. Ohne permanente Nachregelung wird eine Raumsonde ihre scheinbare Bahn um den Lagrangepunkt, die ja nur ein Herantasten an ein instabiles Gleichgewicht ist, bald verlassen.

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