Geronimoooooooooooooo!

+++ Nachtrag vom 15.10. am Ende des Artikels +++ Bekanntlich will der österreichische Extremsportler Felix Baumgartner heute den Versuch wagen, bei einem Fallschirmabsprung aus mehr als 37 km Höhe im freien Fall die Schallmauer zu durchbrechen. Na, dann rechnen wir doch mal nach.

Mittel der Wahl ist für einen Ingenieur die numerische Integration der Trajektorie. Für die atmosphärischen Daten – Dichte, Druck und Temperatur – nehme ich das U.S.-Standardatmosphärenmodell. Ich gebe eine Absprunghöhe vor. Für meine Berechnungen wurden die Werte 37 km (nahe an der Höhe, aus der Baumgartner abspringen will), 50 km, 70 km und 100 km angesetzt … letztere Werte sind von Interesse für Alle, die sich mit dem Gedanken tragen, Baumgartners Sprung zu toppen.

Ferner nehme ich an, dass der Springer eine Masse von 90 kg hat, einen Widerstandsbeiwert von 1 und eine aerodynamische Querschnittsfläche von 1 qm. Das sind natürlich nur Schätzungen. Schauen wir mal:

Velocity of a hypothetical parachutist for different jump altitudes, source: Michael Khan

Zunächst die Geschwindigkeit in km/h, angefangen bei 0 am jeweiligen Absprungpunkt, dann zunächst ungebremst ansteigend, bis zwischen 50 und 30 km der Luftwiderstand stark wird, und von dort an immer langsamer in Richtung einer Gleichgewichtsgeschwindigkeit von etwa 250 km/h. Spitzengeschwindigkeit schon bei 37 km Absprunghöhe über 1000 Stukis, trotz meiner wahrscheinlich zu konservativen  Annahmen zum Luftwiderstand.

Mach number of a hypothetical parachutist for different jump altitudes, source: Michael Khan

Die Machzahl errechnet sich aus der Geschwindigkeit und der lokalen Schallgeschwindigkeit, die eine Funktion der Temperatur ist. Laut meinen Berechnungen reicht es zwar nicht ganz für Mach 1, aber wenn Baumgartner sich anfangs ganz klein und kompakt macht, dürfte da noch etwas herauszuholen und die Schallmauer zu knacken sein.

Alle, die Mach 2 im freien Fall anpeilen, sollten sich das aber gut überlegen, denn dafür müssen sie schon aus 70 km Höhe abspringen. Mach 3 ist eigentlich kaum zu schaffen. Dazu müsste man schon einen Flug auf Virgin Galactic buchen und bei Erreichen der Gipfelhöhe die Tür aufmachen und aussteigen. Da hat bestimmt Richard Branson etwas dagegen.

Convective and radiative heat flux for a hypothetical parachutist for different jump altitudes, source: Michael Khan

Bei solchen Geschwindigkeiten stellt sich irgendwann die Frage nach der Reibungshitze. Diese ist notorisch schwierig zu berechnen, deswegen versuche ich es erst gar nicht, sondern beschränke mich auf den Wärmestrom (hier nur konvektiv … sollte es zu einer solchen Erwärmung der umgebenden Luft kommen, dass radiativer Wärmeaustausch ein Thema wird, dann sollte man ohnehin von einem Sprung absehen).

Wer sich in große Höhen begint, wird einen Druckanzug brauchen. Bei Baumgartners Sprung liegt die thermische Belastung bei maximal 500 W/qm – da gleichzeitig auch der Luftstrom Wärme abführt, dürfte das noch kein Problem sein.

Anders sieht es bei noch größeren Absprunghöhen aus. Wer die Mach-2-Marke knacken will, muss mit 4 kW/qm rechnen, also etwa 3 mal so viel wie das, was bei voller Sonneneinstrahlung auf eine Fläche einwirkt. Wenn man von 100 km Höhe abspringt, dann sind es sogar 10 kW/qm.

Also, das würde ich mir dann aber gut überlegen.


Nachtrag vom 15.10.2012

Kalibrierung der Eingangsdaten nach dem Sprung

So, nun ist Felix Baumgartners Sprung Geschichte und wir wissen: Er hat es geschafft und die Schallmauer wurde im freien Fall ohne Antrieb geknackt. Mit den Daten zum tatsächlichen Sprung kann man auch die Rechnung kalibrieren, gemäß der alten Ingenieursweisheit, nach der es immer einfacher ist, etwas auszurechnen, wenn man schon vorher weiß, was herauskommen wird.

Die Eckdaten des Sprungs: Absprunghöhe 39.054 km, erreichte Höchstgeschwindigkeit 373.4 m/s (=1344 km/h), Erreichte Machzahl: 1.24. Wie bereits zuvor angesprochen: die wesentlichen Eingangsparameter sind Masse, aerodynamischer Querschnitt und Widerstandsbeiwert. Allerdings gehen diese immer gemeinsam in die Berechnung ein, sodass es Sinn macht, sie zu einem Parameter zusammenzufassen. Da bietet sich der ballistische Parameter an: B=m/(cD*A).

In meiner Anfangsschätzung wäre B als 90 kg/ (1 * 1 m2) = 90 kg/m2 herausgekommen. Wenn man sich aber den Körperbau und die Muskelmasse von Felix Baumgartner anschaut und die Ausrüstung, die er mitschleppt, dann ist klar, dass das nicht reicht. Dafür habe ich wohl bei der Querschnittsfläche etwas zu hoch gegriffen. Was den Widerstandbeiwert angeht – eigentlich darf man den nur als konstant annehmen, wenn die Geschwindigkeit hinreichend weit unterhalb von Mach 1 bleibt. Ansonsten kämen bei hoher Unterschallgeschwindigkeit noch transsonische Effekte hinzu, oberhalb von Mach 1 dann der Wellenwiderstand. Tun wir aber mal vereinfachend so, als sei der Widerstandbeiwert und damit der ballistische Parameter dennoch konstant.

Wenn ich den ballistischen Parameter nun anpasse, sodass die in der numerischen Simulation erreichte Spitzengeschwindigkeit dem erreichten Wert gleicht (d.h., wenn ich die Eingangsparameter meines numerischen Modells kalibriere, was viel wissenschaftlicher klingt, aber dasselbe ist), dann komme ich auf B=185 kg/m2. Dies wäre dann der Fall, wenn die Masse 130 kg beträgt und die Querschnittsfläche bei 0.7 m2 liegt – beides durchaus plausible Werte.

Zusammen mit der Absprunghöhe von etwas mehr als 39 km ergibt sich nun das folgende Bild:

Baumgartner's Jump: Velocity over Time, source: Michael Khan Baumgartner's Jump: Mach Number over Time, source: Michael Khan

 

Geschwindigkeit und Machzahl über der Zeit. Die Schallgeschwindigkeit wird etwa 35 Sekunden nach dem Ansprung erreicht und Überschallgeschwindigkeit fast 40 Sekunden lang beibehalten. Die höchste Machzahl liegt bei 1.24.

Baumhgartner's Jump: Velocity over Altitude, source: Michael Khan Baumgartmer's Jump: Mach Number over Altitude, source: Michael Khan

Geschwindigkeit und Machzahl über der Höhe. Laut diesen Ergebnissen spielte sich die Überschallphase zwischen 33 und 21 km Höhe ab.

Meinen Glückwunsch an Felix Baumgartner. Man sollte nie vergessen, dass bei allen Vorbereitungen und bei allen Berechnungen es doch immer einen wesentlichen Faktor gibt, der über Erfolg und Misserfolg entscheidet: Der Mut des Hauptakteurs.

Felix Baumgartner clearly has the right stuff.

 

Ich bin Luft- und Raumfahrtingenieur und arbeite bei einer Raumfahrtagentur als Missionsanalytiker. Alle in meinen Artikeln geäußerten sind aber meine eigenen und geben nicht notwendigerweise die Sichtweise meines Arbeitgebers wieder.

22 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Sprung aus dem All als Rettungsmanöver

    Als Nutzen eines sky-dive Sprungs a la Felix Baumgartner wurden zukünftige Rettungsmanöver von im Orbit/Suborbit verunfallten Astronauten genannt. Man könnte sich Raumanzüge mit integriertem Fallschirm und kleinen Schubdüsen, die dem Deorbiting dienen, vorstellen.
    Dann wäre der Heatflux tatsächlich entscheidend. Ein entsprechend konstruierter Raumanzug könnte aber eventuell auch Hitzeschildfunktion übernehmen.
    Jedenfalls liest man in einem Artikel über den Fall:

    „Nasa is taking a keen interest in the stunt to assess the impact of supersonic free fall on the human body.“

    In einem BBC-Artikel gar:

    Austrian Felix Baumgartner’s skydive from 120,000ft should provide data to help with future space emergencies, say scientists.

    It is likely to aid the design of escape systems that will allow humans to exit vehicles at high speed and at high altitude.

    Dr Jon Clark is the medical director on Baumgartner’s Red Bull Stratos project. He told our correspondent Jonathan Amos about the current state of knowledge on what happens to the human body in a supersonic airflow.“

  2. Eine Frage vor dem Sprung der Sprünge

    Werbestrategisch wäre das knappe Verfehlen von Mach 1 optimal – so bleibt die Spannung erhalten…und dann auf zur nächsten Sprung-Kampagne.

    Will man dieses Kalkül mal nicht unterstellen: Wie sieht’s denn rechnerisch heute mit Vmax aus, wenn der Querschnitt 0.85 Quadratmeter beträgt?

    Wie auch immer: Fingers crossed. Heile Knochen sind auch von Wert.

  3. @Gunnar

    Bei einer um 15% reduzierten aerodynamischen Querschnittsfläche würde die Mach-1-Hürde gerissen. Ich weiß auch nicht, wie das mit dem Widerstandsbeiwert ist. Die Berechnungen sind mit einer gewissen Unsicherheit behaftet, aber ganz falsch sind sie offenbar nicht.

    Die berechnete thermische Belastung durch die Luftreibung ist 500 Watt pro Quadratmeter, nicht Milliwatt.

  4. Reibungshitze bei 10 kW/qm verkraftbar

    Ein Sprung von 100 km Höhe verbrutzelt einen Astronauten im Raumanzug noch nicht. Nehmen wir an, er sei 10 Minuten einer Wärmeaufnahme von 10 Kilowatt ausgesetzt und die gesamte Wärme werde auf seinen Körper von 100 kg übertragen. Dann erwärmt er sich in den 10 Minuten um etwa 15 Grad Celsius (Annahme: Körper besteht nur aus Wasser). Das wäre zwar tödlich, es zeigt aber, dass ein entsprechend beschichteter Raumanzug durchaus in der Lage sein sollte, die Abwärme abzuhalten. Nehmen wir an der äussere hitzeresistente Teil des Raumanzugs wiege 10 kg. Dieser würde sich ohne Hitzeabgabe an die vorbeiströmende Luft Luft auf (mindestens) 150°C erhitzen. Das sind also keine gefährlich hohen Werte.

  5. Deutscher Ex-Astronaut erwartet Mach 1.1

    In der Endlos-Livesendung auf Servus TV – die auch hier gestreamt wird – hat der ehemalige deutsche Astronaut und jetzige Aerospace-Professor Ulrich Walter gerade seine eigenen(!) Berechnungen von Baumgartners Geschwindigkeit gezeigt: Danach wird er eine ganze Weile mit bis zu Mach 1.1 unterwegs sein. Ich wiederhole meine Frage nach der Validierung des obigen Khan-Modells anhand der Kittinger-Daten (oder auch der früheren Baumgartner-Sprünge aus geringerer Höhe). Scientists want Ground Truth – auch wenn sie sich in der Stratosphäre abspielt …

    [Antwort: Mach 1.1 kann durchaus sein, wenn die Abbremsung geringer ist als in meinen Annahmen. Die Abschätzung eines realistischen Widerstandsbeiwerts erscheint mir schwierig. Auch bei der aerodynamischen Querschnittsfläche kann ich daneben liegen. Beide gehen als Produkt in die Berechnung ein. Der Herr Baumgartner scheint mir ein ziemlich kompakt gebautes Muskelpaket zu sein. das kommt natürlich auch einer hohen Endgeschwindigkeit entgegen. Alles was man sagen kann, ist dass eine Spitzengeschwindigkeit von Mach 1 oder knapp darüber konsistent mit den Ausgangsvoraussetzungen ist. MK]

  6. Wäre ein Absprung von der ISS möglich?

    Rein Hypothetisch: Kann man aus 400 km Höhe, (z.B. in Folge einer akuten Rettungsmission ohne Raumschiff) direkt aus der ISS im freien Fall springen?… wie hoch wäre da die max. Endgeschwindigkeit und könnte ein Astronaut mit einer solchen Raumanzug – Modifikation eine solche Rettungsmission tatsächlich überleben!?

    [Antwort: Ich habe schon erwartet, dass hier irgendwann die Frage nach dem „Aussteigen“ aus der ISS oder einem anderen Weltraumfahrzeug kommt.

    Die Antwort ist: Nein, man kann nicht aus der ISS aussteigen. Wenn man ausstiegt, hat man immer noch die Bahngeschwindigkeit und Bahnenergie der ISS und fällt deswegen auch nicht ‚runter, sondern schwebt einfach neben der ISS her. Man müsste also erst einmal ein Deorbitmanöver mit einem umgeschnallten Raketentriebwerk machen und das Perigäum der eigenen Bahn von etwa 400 km bis in die Atmosphäre absenken. Dort tritt man dann aber mit eine Geschwindigkeit von 29,000 km/h ein, also müsste man auch einen guten Hitzeschild umgeschnallt haben.

    Oder aber, man steigt einfach in eins der Sojus-Schiffe ein, die genau zu diesem Zweck immer an der ISS angedockt sind. Das ist wohl einfacher als das Aussteigen und autonome Wiedereintreten in die Erdatmosphäre. MK]

  7. Physics of super sonic sky dive
    Die Site The Physics of the First-Ever Supersonic Skydive erwähnt viel grössere Hitzebelastungen, nämlich (Zitat)„300 kilowatts of heat when falling at sonic speeds“.
    Das kann allerdings gar nicht stimmen.
    Hier der Abschnitt, in dem das zu lesen ist:
    „When he’s near the maximum speed, almost all the gravitational potential energy he loses [from] falling gets converted to heat,“ Weissman said. If he and his suit together weigh in the neighborhood of 220 pounds (110 kilograms), he’ll produce around 300 kilowatts of heat when falling at sonic speeds.

    „If that heat was simply dumped into the skydiver, he’d heat almost 1 degree Celsius [1.8 degrees Fahrenheit] per second, which would be rapidly fatal,“ he said. „Of course most of that heat goes into the atmosphere, but it doesn’t sound like a good idea to be around the equivalent of 200 high-power hairdryers for very long without some protection.“

    Beschreibung von früheren Sprüngen aus fast vergleichbaren Höhen haben erwähnten eher die Gefahr von Unterkühlung. Die obige Beschreibung dagegen legt nahe, der Sky-Diver könnte an einem Hitzetod sterben.

  8. Physics of super sonic sky dive
    Der Artikel The Physics of the First-Ever Supersonic Skydive schreibt von einer Hitzebelstung Baumgartners von 300 Kilowatt, (Zitat)„he’ll produce around 300 kilowatts of heat when falling at sonic speeds.“

    Das kann allerdings gar nicht stimmen. Sprünge aus ähnlich grosser Höhe haben eher zu Unterkühlung anstatt zu Überhitzung geführt.
    Hier noch der Abschnitt aus dem das Zitat ist:
    „When he’s near the maximum speed, almost all the gravitational potential energy he loses [from] falling gets converted to heat,“ Weissman said. If he and his suit together weigh in the neighborhood of 220 pounds (110 kilograms), he’ll produce around 300 kilowatts of heat when falling at sonic speeds.“

    „If that heat was simply dumped into the skydiver, he’d heat almost 1 degree Celsius [1.8 degrees Fahrenheit] per second, which would be rapidly fatal,“ he said. „Of course most of that heat goes into the atmosphere, but it doesn’t sound like a good idea to be around the equivalent of 200 high-power hairdryers for very long without some protection.“

  9. Pech gehabt…

    … denn wie Raumfahrer.net und ServusTV berichten, spielte das Wetter dann doch nicht mit: Der Wind wurde zu stark. Schade.
    Der nächste Versuch ist für Donnerstag angesetzt. Mal sehen, ob es dann klappt.

    Kleinigkeit am Rande: Jetzt würde mich nur noch interessieren, was der Geronimo damit zu tun hat?

  10. Wie Ulrich Walter auf Mach > 1 kommt

    Heute werden wir ja vielleicht heraus bekommen, wie schnell Baumgartner tatsächlich wird. Hier die Erklärung von Ulrich Walter, warum er auf ein höheres Ergebnis als Khan gekommen ist, die er mir für die Weiterleitung hier gemailt hat – den Formulierungen nach gehört er zu Baumgartners Team:

    „[E]ntscheidend für die Berechnungen sind die exakten atmosphärischen Höhendaten (die bekomme ich täglich von den Wetterfröschen vor Ort), ein korrekter ballistischer Faktor von Felix (den kennen wir genau, selbst in Abhängigkeit seiner Flugorientierung) und ein korrekter Cd-Wert, den habe ich für den Subsonic-Bereich an die Ergebnisse des letzten Sprungs angepasst. Die Unbekannten in der Rechnung sind, wie lange Felix nach dem Absprung taumeln wird (beeinflusst den Drag etwas) und wie sich der Cd-Wert bei Ma=1 und darüber ändert (das ist das wirklich Interessante).

    Zusammengefasst kann man sagen, dass bei der derzeit angepeilten Absprunghöhe nach 36 Sekunden Ma=1 erreicht. Welche maximale Machzahl er erreicht, hängt vom Wake Drag an der Schallmauer ab, den wir noch nicht kennen. Aber den Absprung-Höhen-Margin, den wir dafür eingeplant haben, sollte reichen, ihn so oder so durch die Schallmauer zu ziehen.“

  11. Antworten
    @Daniel Fischer

    Da ich von vorneherein betont habe, dass in meiner Rechnung kritische Eingangsparameter nur relativ grobe Schätzungen sind (insbesondere meine Schätzung der Masse des Springers, ist inkonsistent mit der Shulterbreite und der Muskelmasse Felix Baumgartners) wundert es mich nicht, dass jemand mit Zugang zu genaueren Daten andere Ergebnisse findet.

    Wir wissen nun, dass ich den ballistischen Parameter deutlich zu niedrig angesetzt habe. Aber immerhin, obwohl ich da um einen Faktor zwei daneben lag, ist die von mir berechnete Machzahl nur um 15% zu klein ausgefallen.

    @Mark Korn

    Sie haben mit Ihrer Anmerkung schon Recht. Die Frage nach dem Warum stellt sich allerdings bei jeder Hochprofilsportart. Da finde ich aber, Felix Baumgartner kann sich mit mehr Berechtigung aufs Knie hauen als irgendwelche Fußballer, die man auch dauernd im Fernsehen sehen und hören muss.

  12. Taumeln macht Strato-Sky-Dive unsicher

    Baumgartners Sprung könnte den Weg weisen für Suborbital-Adventures mit Absicherung: Jeder Suborbitaltourist würde einfach einen „Baumgartner“-Schutz-und Druckanzug tragen und würde damit seine Überlebenswahrscheinlichkeit von vielleicht 90% auf 99% erhöhen, denn nicht nur einen Druckabfall, sondern sogar eine schwere Beschädigung des Suborbital-Vehikels oder einen Ausfall seiner Triebwerke könnte man dann überstehen – einfach indem man es Felix Baumgartner gleichtut und sich herunterfallen lässt bis ein Fallschirm sich automatisch öffnet.

    Wen da nicht das anfängliche Taumeln mit der Gefahr eines gar tödlichen Spins wäre. Suborbitalpassagiere, die aus 100 km Höhe abspringen sind dieser Gefahr noch viel stärker ausgesetzt.
    Schon für Felix Baumgartner wurde es gefährlich beschreibt er die Erfahrung doch so:

    „Der Exit war perfekt. Ich bin sehr schön weggesprungen, dann habe ich mich sehr langsam gedreht. Ich habe gedacht, ich habe alles unter Kontrolle, dann ist das Ganze richtig violent geworden. Ich habe aber in jeder Sekunde mitbekommen was passiert. Es war sehr schwieriger als angenommen. Ich habe sehr viel probiert da oben – und das alles unter Höchstgeschwindigkeit. Der Körper ist nach der langen Vorbereitungszeit müde und dehydriert und reagiert anders. Glücklicherweise hab ich es geschafft alles wieder unter Kontrolle zu bringen.“

    Hätte Baumgartner länger als 6 Sekunden ohne Kontrolle in nur eine Richtung gedreht, hätte sich allerdings automatisch ein Stabilisierungsschirm geöffnet. Doch wenn man von 100 km Höhe aus springt hilft wahrscheinlich auch ein Stabilisierungsschirm nicht mehr viel, denn die Restatmosphäre ist in dieser Höhe wohl zu gering. Man könnte sich aber kleine Stabilisierungsraketen vorstellen, die am Raum-/Druckanzug befestigt sind.

    Jedenfalls scheint mir der erfolgreiche Sprung Baumgartners genug Grund zu sein, um sich Überlegungen zur Raumrettung für Suborbitalflieger zu machen.

  13. Verrückt, die FAI!

    Ich hab das Gefühl, da sind einige Leute bei der FAI neidisch, anders kann ich mir diese Erläuterung:

    , erklärt Serge Guillaume, ein Sprecher der Fédération Aéronautique Internationale in Lausanne. „Dennoch ist er ungültig. Die Auswertung der Kamerabilder beweist, dass Baumgartner mit seinem rechten Fuß die Linie um exakt sieben Millimeter übertreten hat.“ Durch dieses Übertreten habe sich der Österreicher einen unfairen Vorteil gegenüber jedem verschafft, der sich ebenfalls aus einer Höhe von 39.044 Metern in die Tiefe stürzen will.

    nicht erklären. In der Leichtathletik sehe ich das ja ein, aber da sind die entsprechenden Markierungen auch breiter. Etwas anders sieht es aus, falls er tatsächlich zu doping gegriffen haben sollte. Das wäre wirklich nicht nett. Also mal abwarten, was da noch kommt.

  14. Formeln?

    Hi,
    wir müssen für die Uni auch eine solche Geschwindigkeit-Zeit-Kurve von Felix erstellen. Allerdings komme ich nicht auf die erprobten Parameter. Welche Formeln hast du benutzt um deine Kurve im Nachtrag zu erstellen?
    Viele Grüße
    Sascha

  15. @Sascha: Berechnungsverfahren

    Für welches Fach wurde denn diese Aufgabe gestellt?

    Ich glaube nicht, dass die Frage der Bahnberechnung eines Fallschirmspringers in der Hochatmosphäre sich für eine geschlossene Lösung anbietet – deswegen gibt es auch nicht eine „Formel“ für den Geschwindigkeitsverlauf.

    Das Beste ist, man schreibt sich die wirklich noch recht einfachen vektoriellen Bewegungsgleichungen und löst diese per numerischer Integration. Genauer geht’s nicht, wenn man richtige Annahmen zu den die Rechnung beeinflussenden Parametern gemacht hat. Dazu habe ich ja im Text bereits Einiges beschrieben.

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