Wie wir den Raum krümmen: Zum Geburtstag von Bernhard Riemann

In seinem Blogpost „Warum wir den Raum krümmen“ erklärt mein Nachbarblogger Joachim Schulz, warum die PhysikerInnen in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) den Raum krümmen: Sie tun es, weil sie so mit möglichst wenig Annahmen die Newtonsche Gravitationstheorie mit der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) in Einklang bringen können.

Die 1915 vorgestellte ART erweitert die Newtonsche Theorie für große Massen und große Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit und deutet Gravitation als geometrische Eigenschaft der gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit: die Erde kreist nicht deshalb um die Sonne, weil diese eine Anziehungskraft ausübt, sondern weil die Masse der Sonne das Gebilde der Raumzeit um sie herum verzerrt.

Die spezielle Differentialgeometrie zur mathematischen Beschreibung dieser Raumkrümmung entwickelte im Wesentlichen, der in der Öffentlichkeit wenig bekannte, Bernhard Riemann1.

Bernhard Riemann 1863

Bernhard Riemann 1863

Riemanns Habilitationsvortrag

Die Riemannsche Geometrie beantwortet die Frage nach möglichen Gestaltverhältnissen des Raumes. Das 1854 in seinem legendären Habilitationsvortrag2Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen“ vorgestellte System geometrischer Sätze für n-dimensionale Räume enthält die euklidische Geometrie und die nicht-euklidischen Geometrien als Spezialfälle. (In nicht-euklidischen Geometrien gilt nicht das Parallelen-Axiom. Parallel verlaufende Geraden können sich in einem Punkt treffen, wie Längskreise am Nordpol, oder sie können auseinander driften.)

Im ersten der zwei Teile dieses Habilitationsvortrags untersucht Riemann, wie man einen n-dimensionalen Raum definieren kann und gibt die Definition dessen, was heute nach ihm „Riemannsche Fläche3“ genannt wird.

Er untersucht kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten auf gekrümmten Flächen beliebiger Dimension (heute „Geodätische“ genannt). Er stellt ferner fest, dass es Lebewesen, die auf einer gekrümmten Fläche leben, möglich ist, an jeder Stelle ihrer Welt die Krümmung durch den Grad der Abweichung vom Satz des Pythagoras zu bestimmen (so erfüllt z.B. ein rechtwinkliges Dreieck auf der Kugel den Satz von Pythagoras nicht!).

Die wichtigste und folgenreichste Entwicklung im ersten Teil von Riemanns Habilitationsvortrag war jedoch die Definition des Krümmungstensors. Der riemannsche Krümmungstensor beschreibt die Krümmung von Räumen beliebiger Dimension.

Im zweiten Teil untersucht er außerordentlich tiefsinnige Fragestellungen über die Dimension des Weltalls, in dem wir leben, und welche Geometrie es am besten beschreibt. Damit war er seiner Zeit sehr weit voraus.

Video: Der Riemannsche Habilitationsvortrag für Laien erklärt

Die Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein Grundbaustein der ART

In der Riemannschen Geometrie werden die besonderen geometrischen Eigenschaften einer riemannschen Mannigfaltigkeit, einem räumlichen Gebilde, untersucht. Dies ist eine glatte Mannigfaltigkeit, wie z.B. Karte oder Atlas, mit einer Art Skalarprodukt. Mithilfe dieser Funktion kann man Winkel, Längen, Abstände und Volumen messen.

Video: Eine Mannigfaltigkeit bildlich erklärt

Einstein hat für die ART die pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit erfunden, dabei handelt es sich um eine Modifizierung der riemannschen Mannigfaltigkeit, die zu veränderten geometrischen Eigenschatten führt.

Die Friedmann-Weltmodelle zur Gestalt des Universums

Die Feldgleichungen der ART bestimmen die Geometrie der Raumzeit in Abhängigkeit von der Verteilung der Materie, d.h. wie die Raumzeit bei einer bestimmten Energie- und Masseverteilung gekrümmt ist. Dabei wird die Raumzeitgeometrie durch einen entsprechenden Riemannschen Krümmungstensor beschrieben. Einstein ging dabei von einem statischen Universum aus, das sich insgesamt weder ausdehnt noch zusammenzieht. Dazu musste er in seinen Gleichungen eine stabilisierende Konstante, die er kosmologische Konstante nannte, einführen.

Der russische Mathematiker und Physiker Alexander Friedmann verwarf die Annahme eines statischen Universums und entwarf die sogenannte Friedmann-Gleichung, die ein expandierendes Universum beschreibt und die kosmologische Konstante gleich Null setzt.

Man erhält die Gleichung aus der Forderung konstanter Krümmung und durch Anwendung des kosmologischen Prinzips („das Universum ist räumlich homogen und isotrop“). Das Vakuum krümmt die Raumzeit nach außen, die Massen krümmen die Raumzeit nach innen und das Licht folgt der flachen Raumzeit.

Aus der Gleichung lassen sich dabei je nach Energiegehalt des Universums Voraussagen über dessen Expansion oder Kontraktion ableiten. Es ergeben sich drei mögliche Modelle mit positiver, negativer und flacher Raumzeitkrümmung, die in etwa den Kegelschnitten vergleichbar sind (Kreis bzw. Ellipse, Hyperbel).

Modell 1

Negative Raumzeitkrümmung k = -1, kinetische Energie < potenzielle Energie. Die Krümmung der Raumzeit ist hyperbolisch und das Universum dehnt sich immer weiter aus.

Modell 2

Flache Raumzeitkrümmung k = 0, der Grenzfall: Kinetische Energie = potenzielle Energie. Das Universum ist flach. Hier verlangsamt sich die Expansion.

Modell 3

Positive Raumzeitkrümmung k = + 1 kinetische Energie > potenzielle Energie. Die Krümmung der Raumzeit ist sphärisch. Ein solches Universum ist übrigens auch geschlossen: Obwohl unbegrenzt wäre es nur endlich groß. Dieses Modell beschreibt ein pulsierendes Universum, das in einem Big Bang entsteht und dann in einem Big Crunch (Kollaps) endet.

Nach heutigem Kenntnisstand ist das Universum im Rahmen der Messgenauigkeit flach und die Expansion beschleunigt sich.

Geometrien des Universums

Geometrien des Universums

Die Poincaré-Vermutung und Grigori Perelman

Die Poincaré-Vermutung besagt, dass, solange ein geometrisches Objekt kein Loch hat, es zu einer Kugel deformiert (also geschrumpft, gestaucht, aufgeblasen o. ä.) werden kann. Und das gelte nicht nur im Fall einer zweidimensionalen Oberfläche im dreidimensionalen Raum, sondern auch für eine dreidimensionale Oberfläche im vierdimensionalen Raum. („Jede einfach zusammenhängende, kompakte, unberandete, 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre.“) Grigori Perelman hat die Vermutung 2002 bewiesen. Es ist das einizge der sieben Millennium-Probleme das bisher gelöst wurde. Perelman benutzte für den Beweis u.a. das „Soul Theorem“ der Riemannschen Geometrie.

Die Arbeiten von Fieldsmedaillist Maryam Mirzakhani zu Riemannschen Flächen

Dieses Jahr ging eine der vier Fields-Medaillen erstmals an eine Frau, die Iranerin Maryam Mirzakhani. Sie bekam die Auszeichnung für ihre Arbeiten zur Dynamik und Geometrie von Riemannschen Flächen. Mirzakhani hat unter anderem geschlossene Kurven auf hyperbolischen Flächen untersucht, deren Länge sich kurioserweise nicht ändert, wenn man sie verformt.

Riemann der Akademiker

Wie Darwin begann Riemann seine akademische Laufbahn als Theologe. Im Frühjahr 1846 immatrikulierte sich Riemann an der theologischen Fakultät der Universität Göttingen, wozu ihn sein Vater ermutigt hatte. Dennoch beschäftigte er sich auch mit Mathematik und bat seinen Vater, ihm den Wechsel zur philosophischen Fakultät zu erlauben, um Mathematik studieren zu können. Nachdem er sie erhalten hatte, begann er mit dem Mathematik- Studium, u.a. bei Moritz Stern und Carl Friedrich Gauß.

Im November 1850 legte Riemann seine Gedanken über eine einheitliche mathematisch-physikalische Naturauffassung in einem Aufsatz dar, in dem er forderte,

eine vollkommen in sich abgeschlossene mathematische Theorie […], welche von den für die einzelnen Punkte geltenden Elementargesetzen bis zu den Vorgängen in dem uns wirklich gegebenen continuierlich erfüllten Raume fortschreitet, ohne zu scheiden, ob es sich um die Schwerkraft, oder die Electricität, oder den Magnetismus, oder das Gleichgewicht der Wärme handelt„.

Das klingt doch schon nach Weltformel.

Riemann hatte Mühe frei vorzutragen und hielt seine erste Vorlesung über partielle Differentialgleichungen vor gerade einmal 8 Studenten. Seine ihm eigene Schüchternheit überwand er nur mühsam. Seine Vorlesung über„Theorie der Abel’ schen Funktionen“ hielt er in den Jahren 1855/56 vor drei Studenten. Einer davon war Dedekind, der die Schönheit und Qualität dieser Vorlesung der Nachwelt erhielt, indem er sie nach Riemanns frühem Tod veröffentlichte.

Riemann hat in seinem kurzen Leben (40 Jahre) „nur“ 11 Papers publiziert. Das Bekannteste ist das Paper „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“ das die weltberühmte Riemannsche Vermutung enthält. Im Jahr 2000 wurde diese Vermutung vom Clay Mathematics Institute (CMI) in Cambridge (Massachusetts) auf die Liste der Millennium-Probleme gesetzt und ein Preisgeld von 1 Millionen US Dollar für dessen Lösung ausgesetzt.

Als der hervorragende deutsche Mathematiker David Hilbert gefragt wurde, wonach er sich zuerst erkundigen würde, wenn er 100 Jahre nach seinem Tod noch einmal mit Mathematikern zusammentreffen könnte, soll er geantwortet haben: „Danach, ob die Riemannsche Vermutung bewiesen ist.“

Fußnoten

1. Dieser bedeutende Mathematiker wurde am 17. September 1826 in Breselenz in Niedersachsen, damals das Königreich Hannover, geboren.

2. Erst 1876, nach seinem Tod, in den gesammelten Werken publiziert.

3. Riemannsche Flächen sind die einfachsten geometrischen Objekte, die lokal die Struktur der komplexen Zahlen besitzen. Die Untersuchung von riemannschen Flächen fällt in das mathematische Gebiet der Funktionentheorie und hängt wesentlich von Methoden der algebraischen Topologie und algebraischen Geometrie ab.

Weiterführende Links

Warum beschäftigt man sich mit Mannigfaltigkeiten?

Ein Ergebnis von Mirzakhanis Arbeiten zu Riemannschen Flächen für Laien verständlich erklärt.

How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice

Veröffentlicht von

Joe Dramiga ist Neurogenetiker und hat Biologie an der Universität Köln und am King’s College London studiert. In seiner Doktorarbeit beschäftigte er sich mit der Genexpression in einem Mausmodell für die Frontotemporale Demenz. Die Frontotemporale Demenz ist eine Erkrankung des Gehirns, die sowohl Ähnlichkeit mit Alzheimer als auch mit Parkinson hat. Kontakt: jdramiga [at] googlemail [dot] com

34 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Joe Dramiga schrieb (16. September 2014):
    > Die 1915 vorgestellte ART […] deutet Gravitation als geometrische Eigenschaft der gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit […]

    > Einstein hat für die ART die pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit erfunden, dabei handelt es
    sich um eine Modifizierung der riemannschen Mannigfaltigkeit

    Entsprechend bezeichnet man die Dimensionalität der für die ART bedeutsamen „Raumzeit„-Mannigfaltigkeit ggf. auch genauer als „drei-plus-ein“-dimensional.

    > Im ersten der zwei Teile [seines] Habilitationsvortrag[s] untersucht Riemann, wie man einen n-dimensionalen Raum definieren kann

    Wie lautet diese Definition konkret?
    Und hat Riemann damit auch eine Methode an die Hand gegeben, nach welcher im jeweils vorliegenden Falle (einer bestimmten gegebenen bzw. betrachteten Menge von Ereignissen, mit denen man sich in der ART beschäftigt) entschieden werden könnte, welcher konkrete Zahlenwert für „n“ jeweils zutrifft?

    > so erfüllt z.B. ein rechtwinkliges Dreieck auf der Kugel den Satz von Pythagoras nicht!

    Was sind denn die definitionsgemäßen, genauen, konkreten Bedingungen, die ein Dreick erfüllen soll, um „rechtwinklig“ genannt zu werden?

    (Entweder im speziellen genannten Fall eines Dreiecks „auf der Kugel„, was ggf. noch näher zu definieren wäre; oder auch im Allgemeinen.)

    • Ich versuche mal Riemanns abstrakte Ausführungen, zusammenfassend, mit meinen eigenen Worten, wiederzugeben – ohne eine Gewähr auf die Richtigkeit meiner Gedanken zu geben. Also besser hier in Riemanns Habilitationsvortrag selber nachlesen.

      Der n-dimensionale Raum ist der Spezialfall einer Mannigfaltigkeit der Ausdehnung n ≥ 3 mit stetigen Quanta für die sich eine Art (Riemannsche) Metrik konstruieren lässt. d.h. man kann Abstände, Winkel, Volumen und insbesondere die Krümmung intrinsisch messen. Diese Art Metrik lässt sich konstruieren wenn die Mannigfaltigkeit differenzierbar ist. Der RGB-Farbraum wäre z.B. so eine Mannigfaltigkeit mit der Ausdehnung n = 3.

      Der n-dimensionale Raum enthält Mannigfaltigkeiten verschiedener Ausdehnung, die durch eine hierarchische Ordnung miteinander verknüpft sind. Mit Mannigfaltigkeiten der Ausdehnung n-1 lassen sich Manngifaltigkeiten der Ausdehnung n konstruieren. Aus Punkten lassen sich Linien konstruieren, aus Linien lassen sich Flächen konstruieren, aus Flächen Körper usw.

      • Joe Dramiga schrieb (18. September 2014 10:13):
        > Mit Mannigfaltigkeiten der Ausdehnung n-1 lassen sich Manngifaltigkeiten der Ausdehnung n konstruieren. Aus Punkten lassen sich Linien konstruieren, aus Linien lassen sich Flächen konstruieren, aus Flächen Körper usw.

        Aber aus Punkten lassen sich (demnach, bestimmt) auch „Flächen“ bzw. „Körper“ konstruieren, nicht wahr?

        Und nicht jede „aus Punkten bestehende Konstruktion“ ist notwendiger Weise eine Linie (oder Fläche, oder Körper, …).

        Riemann beschrieb ja ausdrücklich:

        eine einfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, deren wesentliches Kennzeichen ist, dass in ihr von einem Punkte nur nach zwei Seiten, vorwärts order rückwärts, ein stetiger Fortgang möglich ist.

        Man mag diesbezüglich „Kurvenverläufe von Funktionen (in der Euklidisch-Cartesischen x-y-Ebene)“ betrachten und sich z.B. fragen, ob die Funktionen

        x^3 Sin[ 1/x ] oder

        x^(1/3) Sin[ 1/x ]

        Bilder ergeben, die (überall, also insbesondere auch „bei x = 0“) „Linien“ und „einfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit“ im Sinne Riemanns wären.

        Wichtig ist mir aber vor allem, dass Riemanns Idee bzw. Forderung nach „stetigem Fortgang“ auch die Notwendigkeit zugibt, „Entfernungen zwischen Punkten“ zu bestimmen, zu vergleichen, zu messen. (Damit zusammenhängende Begriffe der Topologie wurden wohl erst deutlich nach Riemanns Habilitation entwickelt.)

        Wenn also solche „Entfernungen“ (oder wenigstens: „Entfernungs„-Verhältnisse als Zahlenwerte) in der Riemannschen Geometrie schon von Anfang an benötigt und angenommen werden, wundert es mich (immer wieder sehr), dass diese offenbar so wenig thematisiert und benutzt werden, und „man (stattdessen) in Koordinaten schwelgt“.

        > man kann Abstände, Winkel, Volumen und insbesondere die Krümmung intrinsisch messen

        Sind das voneinander unabhängige Maße?
        Oder bestehen Zusammhänge durch deren Definitionen („wie man misst“)?

        Die „Abstände“ (bzw. „Entfernungen„) sollten ja ohnehin von vornherein zur
        Verfügung stehen. Daraus sollten sich die anderen Maße ermitteln lassen; und zwar auch ohne
        „zwischendurch Koordinaten darüberstreußeln“ zu müssen.

        > Der RGB-Farbraum wäre z.B. so eine Mannigfaltigkeit mit der Ausdehnung n = 3.

        So weit ich das verstehe, kann man „den RGB-Farbraum“ sicherlich eine „topologische
        Mannigfaltigkeit
        der Dimension n = 3″ nennen.

        (Das schon weist schon darauf hin, dass es auch um den Farbraum an sich geht; egal, ob dessen Elemente als „RGB“ oder „CMY“ oder irgendwie ansders parametrisiert würden.)

        Um eine Riemannsche Mannigfaltigkeit zu erhalten, müsste man sich wohl sowieso noch auf „ein bestimmtes Maß“ von [[Farbabstand]] festlegen, das auch „Punkte“ miteinander in Beziehung setzt, die sich sowohl „in R“ als auch „in G“ usw. unterscheiden.

        (Und je nach dem, wie mehr oder weniger vollständig und „ernsthaft“ man „irgendwelche anderen Parametrisierungen“ der Farbraum-Elemente in Betracht zieht, ergäbe sich auch eine mehr oder weniger gute Analogie zur Auffassung des „Raumes an sich“ als Mannigfaltigkeit, dessen „principal identifiable points“ sich ja neben ihren individuellen Namen ausschießlich durch bestimmte gleiche oder ungleiche geometrische Beziehungen zu anderen auszeichnen; während jedes Element des Farbraums ja über ein bestimmte „messbare Farbe an sich“ verfügt.)

        p.s.
        > Also besser hier in Riemanns Habilitationsvortrag selber nachlesen.

        Dort (Transcription by D. R. Wilkins, Corrected April 2000) steht nun mal auch:
        >

        […] wird sie der Grösse gleich, welche Herr Geheimer Hofrath Gauss das Krümmungsmass einer Fläche ganannt hat.

        Das hat Hilbert so sicherlich nicht vorgetragen …

  2. siehe Rechtwinkliges Kugeldreieck

    Im rechtwinkligen Kugeldreieck (ein Winkel beträgt also 90°) können meist die Formeln für euklidische Dreiecke in leicht abgewandelter Form angewandt werden.

    Der Begriff rechtwinkliges Dreieck auf der Kugel (= rechtwinkliges Kugeldreieck) ist also auch der Wikipedia bekannt.

  3. Schön, dass da jemand einmal an Riemann gedacht hat!

    Die Krümmung von Raum und Raumzeit bei Friedmann betreffend, da wäre dann aber noch etwas zu entwirren.

    »Man erhält die Gleichung aus der Forderung konstanter Krümmung und durch Anwendung des kosmologischen Prinzips („das Universum ist räumlich homogen und isotrop“).«

    Ja genau, räumlich. Deshalb bezieht sich die Sache mit der konstanten Krümmung und dem Krümmungsindex k bei den Friedmann Modellen auch nicht auf die Raumzeit, sondern immer nur auf das räumliche Universum zu einem fest ins Auge gefassten Moment kosmologischer Zeit. Genauer gesagt, für jedes feste t ist die raumartige 3-dim. Hyperfläche {t = const.} mit der durch die Raumzeitstruktur induzierten Metrik ein Riemannscher Raum von konstanter Schnittkrümmung. Für k = 0 ist das dann ein Euklidischer 3-Raum, doch die 4-dim. Raumzeit ist auch in diesem Fall nicht flach—ein Verschwinden der Raumzeitkrümmung würde ja bedeuten, dass dort nirgendwo Gravitation herrscht, und das liegt nicht im Sinne des Erfinders.

    • Chrys schrieb (17. September 2014 11:17):
      > Raum und Raumzeit bei Friedmann betreffend […]
      > für jedes feste t ist die raumartige 3-dim. Hyperfläche {t = const.} mit der durch die Raumzeitstruktur induzierten Metrik ein Riemannscher Raum von konstanter Schnittkrümmung.

      Das mag A. A. Friedmann betreffend schon stimmen, und betreffend die Beschreibung des Universums als pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit, die der Friedmann-Gleichung genügt.

      Joe Dramigas Artikel stellt nun einen Zusammenhang dieser Modelle zur experimentellen Realität her:

      „Nach heutigem Kenntnisstand ist das Universum im Rahmen der Messgenauigkeit flach […]“

      .

      Da aber Messwerte und „Kenntnis (der Realität)“ unabhängig davon sind, welche Koordinatenwerte „t“ welchen Bestandteilen des Universums zugeordnet wurden (falls überhaupt),
      ist zu betonen,
      dass die relevanten geometrischen Begriffe („raumartige 3-dim. Hyperfläche„, „Schnittkrümmung„, und „Raumzeitstruktur“ überhaupt, im Sinne von Intervall-Verhältnissen eines geeignet verallgemeinerten metrischen Raumes)
      definiert, gemessen, und im Zusammenhang betrachtet werden können,
      ohne dabei irgendwelche Koordinaten zu bemühen.

    • @Frank Wappler

      Soweit ich das sagen kann, die Kosmologen führen dabei ihren Dichteparameter Ω ein, der dann mit dem k über die Friedmann-Gleichung verknüpft ist, wenn man sich die umschreibt gemäss

      kc² = H²R²(Ω(R) − 1)

      Details für Masochisten z.B. hier: http://www.jb.man.ac.uk/~jpl/cosmo/friedman.html

      Das Ω wird dann u.a. aus dem CMB-Kaffeesatz gelesen, just don’t ask …

      • Zum Dichteparameter und Kaffeesatz: Zu den Annahmen, die bei der Friedmann-Gleichung verwendet werden gehören ja auch Folgende:

        Das Universum dehnt sich zur jetzt-Zeit kugelsymmetrisch aus.
        Von den vier Grundkräften muss nur die Gravitation berücksichtigt werden und der
        Kosmos verhält sich wie ein ideales Gas.

        Kann es sein, dass diese Annahmen für die Konstruktion des Dichteparameters verwendet werden – oder ist das eine völlig andere Baustelle?

        • Bei den Friedmann Modellen ist eine „Expansion“ (oder „Kontraktion“) des Raumes weder eine Annahme noch eine zwingende Folgerung. Friedmann selbst hat nur von Krümmung geredet, an Fragen zur kosmolog. Deutung war er offenbar auch gar nicht interessiert, vgl. [Who Discovered the Expanding Universe?]. Das expandierende Universum hat erst Georges Lemaître ins Spiel gebracht, soviel scheint wiss.-historisch zweifelsfrei erwiesen.

          Die Energiedichte ρ ist die einzige Grösse, die Friedmann im Energie-Impuls Tensor berücksichtigt hat (Lemaître hat später noch Druck hinzugenommen), und die kritische Dichte ρ* ergibt sich aus der Lösung der Friedmann-Gleichung im Fall k = 0. Der Dichteparameter Ω wird dann einfach als das Verhältnis ρ/ρ* definiert, mehr braucht es da nicht. Wenn man also observationell nur irgendwie an Ω herankommt, dann liefert die Friedmann-Gleichung auch k = sign(Ω − 1).

          • „Friedmann selbst hat nur von Krümmung geredet, an Fragen zur kosmolog. Deutung war er offenbar auch gar nicht interessiert, …“

            Aufgrund von Sekundärliteraturerinnerungen glaube ich, dass dies falsch ist; „Zweifelsfrei“ geklärt werden kann das aber einfach, wenn man seine Originalartikel von 1922 und 1924 konsultiert, die ich leider auch noch nie las. Vielleicht kann ich jemanden mit diesem Hinweis dazu anregen. Ein recht grosser Teil der Sekundär- und Tertiärliteratur ist leider kaum das Papier wert, auf dem es geschrieben ist.

          • @Peter Wolff
            Friedmanns Artikel von 1922 lässt sich problemlos als PDF im Web finden. Hier eine Auswahl zu [Über die Krümmung des Raumes].

            Aus dem Artikel von 1924 ist immerhin die Einleitung (und damit das Konzeptionelle) auch ohne irgendwelche Privilegien kostenfrei als Preview zu lesen [Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes]. Von „Expansion“ oder sinngemäss vergleichbaren Vokabeln ist auch auf den restlichen fünf Seiten nirgendwo die Rede, das kann ich mit Gewissheit sagen.

          • Nachtrag zu Friedmann:

            Eine kostenlose Version von Friedmanns erster Arbeit in der Zeitschrift für Physik findet man in:

            http://web.phys.ntnu.no/~mika/friedmann1.pdf

            Zitieren allein reicht aber nicht, man sollte den Inhalt auch lesen und wenigstens grob verstehen; habe ich inzwischen wenigstens auf die Schnelle getan und habe dabei eine neue Bestätigung dafür erhalten, dass man nichts glauben soll, was man nicht selber überprüft hat:

            Weiter oben schrieb Chrys wörtlich:

            „Das expandierende Universum hat erst Georges Lemaître ins Spiel gebracht, soviel scheint wiss.-historisch zweifelsfrei erwiesen.“

            Um zu sehen, dass das total falsch ist, reichen bescheidenste Lesekenntnisse und minimale physikalisch-mathematische Kenntnisse:

            Friedmann unterscheidet stationäre und nichtstationäre Weltmodelle; die nichtstationären Modelle werden durch seine Gleichungen (6) und (7) auf Seite 381 beschrieben; und ja, die Worte Expansion oder expandieren kommen genau so nicht vor. Er schreibt aber explizit (Seite 383 ganz unten/Seite 384 oben):

            „Die Zeit des Anwachsens von R von 0 bis R_0 wollen wir die Zeit seit der Erschaffung der Welt nennen“ Dazu schreibt er noch in einer Fussnote:

            „Die Zeit seit der Erschaffung der Welt ist die Zeit, die verflossen ist von dem Augenblicke, als der Raum ein Punkt war (R = 0) bis zum gegenwärtigen Zustande (R = R_0); diese Zeit darf auch unendlich sein.“

            Da bleibt mir nur noch für Lemaître sehr, sehr zu hoffen, dass er Friedmanns Arbeit wirklich nicht kannte!

            Noch ganz kurz zur Schreibweise von Friedmanns Name: Er selber unterschrieb in deutschen Briefen und in andern Artikeln immer mit Friedmann mit zwei n. Weil sein Deutsch nicht gut war, liess er aber seine deutschen Artikel meines Wissens übersetzen/korrigieren.

          • @Peter Wolff
            Anscheinend erwarten Sie bei Friedmann das, was typischerweise auch Kosmologen dort zu sehen meinen, wenn aus einer Raumzeit-Metrik wie

            g = c² dt² − R(t)² (dx² + dy² + dz²)

            mit monoton wachsendem Skalenfaktor R(t) ein expandierendes (in diesem Beispiel flaches) Universum herausgelesen werden soll. Allerdings, wo bei den Kosmologen „physical distance“ draufsteht, ist keine physical distance drin, denn die gelegentlich so bezeichneten, von g induzierten Euklidischen Distanzen bei konstantem t sind Pseudo-Distanzen und keine physikal. messbaren Abstände.

            Eine messbare Grösse, die ein Abstandskonzept liefert, in Bezug auf das sinnvoll von Expansion geredet werden kann, muss erst noch zusätzlich eingeführt werden. Eine korrekte Behandlung dieser Angelegenheit demonstriert etwa J. L. Synge in seinem GR Buch. Der kann dann sagen, das Universum expandiert in Bezug auf Leuchtkraftabstand, und das ist so okay. Die Deutung als Expansion hängt aber daran, dass man Leuchtkraftabstand als ein Abstandsmass akzeptiert. Die Friedmann Modelle selbst sind auch mit VSL (variable speed of light) Theorien verträglich, wo nichts expandiert.

            Dass Lemaître die Sache mit der Expansion tatsächlich einwandfrei hingekriegt hat, ist eher zu bezweifeln. Eine hinreichende Klärung der Problematik mit räumlichen Abständen bei nicht-statischen Raumzeiten kam erst Anfang der 1930er Jahre, Synge nennt ausführlicher Quellen dazu.

            Der Übersetzer von Friedmanns Arbeiten ins Deutsche ist wohlbekannt. Das hat Vladimir Fock besorgt.

          • Chrys schrieb (6. Oktober 2014 22:34):
            > Eine messbare Grösse, die ein Abstandskonzept liefert, in Bezug auf das sinnvoll von Expansion geredet werden kann, muss erst noch zusätzlich eingeführt werden. Eine korrekte Behandlung dieser Angelegenheit demonstriert etwa J. L. Synge in seinem GR Buch.

            Synges Behandlung besteht insbesondere darin („Relativity: The General Theory“, S. 108):

            For us time is the only basic measure. Length, in so far as it is necessary or desirable to introduce it, is strictly a derived concept.

            (Es sei dahingestellt, ob sich dabei die Begriffe „time“ und „basic measure“ unmittelbar auf die Einsteinschen Begriffe der „Zeigerstellung“ und der Beurteilung von „Koinzidenz“ (bzw. von Reihenfolge) von Anzeigen eines Beteiligten beziehen, oder nur mittelbar auf den Vergleich von Dauern; insbesondere von Pingdauern zwischen Beteiligten.)

            > [… ob] man Leuchtkraftabstand als ein Abstandsmass akzeptiert.

            Jedenfalls nicht im Sinne einer Messgrößen-Definition im Rahmen der RT.
            Stattdessen erlaubt das vorab definiert Maß „Abstand“ (bzw. „length„, „Distanz“ oder „Quasi-Distanz“) erst, das Maß „Leuchtkraft“ nachvollziehbar zu definieren, und verschiedene (unterscheidbare) „Leuchtkörper“ überhaupt diesbezüglich zu vergleichen.

            (Wie andere Versuche ausgehen, solche allfälligen Fragen zur Definition und Bestimmung astronomischer Helligkeiten korrekt behandeln zu lassen, haben wir wohl schon erlebt.)

            > Die Friedmann Modelle selbst sind auch mit VSL (variable speed of light) Theorien verträglich […]

            Hat Friedmann unter „speed“ eine nachvollziehbar definierte, messbare Größe verstanden?
            (Falls ja, welche?)

          • @Frank Wappler

            »Jedenfalls nicht im Sinne einer Messgrößen-Definition im Rahmen der RT.«

            Ja, Leuchtkraftabstand ist kein relativist. Abstand. Synge nennt das schliesslich auch astronomical distance und fügt auf p. 327 als Fussnote an,

            Or luminosity distance. This is a particular application of the definition of spatial distance given by Whittaker [1931].

            Ohne ein solches Abstandskonzept, das über die RT hinausgreift, bekommt man aber kein expandierendes Universum. Über die Problematik war sich Friedmann vermutlich im klaren, weshalb er es auch tunlichst vermieden hat, in seine Metrik irgendwas wie Expansion hineindeuten zu wollen. Heute wird ihm das bisweilen so ausgelegt, dass er etwas übersehen habe, weil die universale Expansion doch ein unabweisbares Faktum sei, wie einem quasi schon im Kindergarten mit aufblähenden Luftballons eingetrichtert wird. Jedoch:

            The so-called facts are in any case theoretical interpretations of the observations.
            – Arthur S. Eddington, The Expanding Universe, 1933

          • Chrys schrieb (9. Oktober 2014 11:14):
            > Ohne ein solches Abstandskonzept, das über die RT hinausgreift, bekommt man aber kein expandierendes Universum.

            Das ist aber eine für mich sehr überraschende, schockierende, zweifelhafte Behauptung!

            Sollte es tatsächlich nicht möglich sein, allein aus den in der RT geläufigen s^2-Werten aller Ereignispaare
            (bzw. aus deren Verhältnissen, sofern die betreffenden s^2-Werte ungleich Null wären, d.h. die betreffenden Ereignispaare nicht zueinander Licht-artig)
            einen Begriff von „Expansion“ zu drechseln !?

            Wie wär’s denn z.B. so ?:

            Für je zwei Ereignisse, A und B, die zueinander nicht Licht-artig waren,
            ermittle man das Maximum (oder Supremum) der Größe

            s^2[ A, X ] / | s^2[ A, B ] |

            über alle Ereignisse (bezeichnet mit der Variablen „X“),
            sowie das Maximum (oder Supremum) der Größe

            s^2[ B, Y ] / | s^2[ A, B ] |

            über alle Ereignisse (bezeichnet mit der Variablen „Y“).

            Das Verhältnis dieser beiden Maximal-Werte sei mit „V[ A, B ]“ abgekürzt.

            Wenn nun für alle Paare von Ereignissen diese entsprechenden „V“-Werte positiv sind,

            und wenn für je drei Ereignisse H, J, K,
            die (paarweise) Zeit-artig zueinander waren,
            und so dass Ereignis J „zwischen“ den Ereignissen H und K war
            (also die

            s^2[ H, J ] / s^2[ H, K ] < 1, und
            s^2[ J, K ] / s^2[ H, K ] < 1 erfüllen)

            stets gilt, dass

            V[ H, J ] + V[ J, H ] < V[ H, K ] + V[ K, H ], und
            V[ J, K ] + V[ K, J ] < V[ H, K ] + V[ K, H ],

            dann „expandierte“ die so charakterisierte Ereignismenge (d.h. das in Betracht gezogene „Universum„);

            falls V[ H, K ] < V[ K, H ] dann „in Richtung von H nach K“, und
            andernfalls „in Richtung von K nach H“.

            p.s.
            > The so-called facts are in any case theoretical interpretations of the observations.
            > – Arthur S. Eddington, The Expanding Universe, 1933

            Sicher: wer Messwerte erlangen will, muss sich vorher auf eine Messgröße (Messoperator, „theoretische Interpretation“) festlegen, die ggf. auf Beobachtungsdaten anzuwenden sind.

            Die sogenannten „experimentellen Tests“ sind jedenfalls Vergleiche von Messwerten mit Erwartungswerten, denen die selbe Messoperation (bzw. „theoretische Interpretation“) zugrundeliegt und die ihre Gültigkeit auch dann behält, falls Mess- und Erwartungswerte sich als ungleich herausstellten.

          • @Frank Wappler
            Aus geometrischer Sicht ist es eigentlich nicht motiviert, hier überhaupt von Expansion zu reden. Eine Friedmannsche Raumzeit (M,g) ist technisch ein warped product zweier Riemannscher Räume, einer 1-dim. „Zeit“ (I,dt²) und einem 3-dim. „Universum“ (U,h) mit der Warpfunktion R(t), sodass

            M = I × U und g = dt² − R(t)² h.

            Das Verlangen, diesen Warp irgendwie als Expansion zu deuten, haben dann nur Kosmologen oder Physiker. Dazu braucht es offenbar einen Trick bei der physikal Interpretation.

            Um geometr. Grössen in eine Beziehung zu physikal messbaren Grössen zu setzen, müssen sie irgendwie mit physikal. Einheiten versehen werden. Man könnte nun den geodätischen Abstand in (U,h) durch „Meter“ ausdrücken, aber so endet man nur bei der comoving distance, bezüglich der nichts expandiert (und von der man auch nicht recht wüsste, wie man sie konkret messen sollte). Also werden die „Meter“ stattdessen dem Skalenfaktor R zugeschlagen, was durch ein Abstandsmass wie den Leichtkraftabstand d zu rechtfertigen ist.

            Das passt dann mit H = R’/R zum Hubble Gesetz, cz = Hd, da der Hubble Parameter H die Einheit (Meter/Sek.)/Meter = 1/Sek. hat. (Ein c² zur Konvertierung zwischen Sek. und Meter sollte man dem dt² bei der Metrik g vielleicht dann noch spendieren, damit die Physiker glücklich sind.)

            Expansion oder nicht — das hängt demnach davon ab, wo man die „Meter“ zuweist, und das ist einzig eine Frage im Rahmen einer physikal. Deutung und nicht eine der Geometrie.

            Wie übrigens Lemaître argumentiert hat, um auf seine Expansion zu kommen, habe ich nicht angeschaut. Synge geht nicht näher darauf ein, seinem Verweis auf Lemaître 1927 resp. (translated in Mon. Not. Roy. Astr. Soc. 91 (1931) 483) mag der ambitionierte Leser jedoch [hier] nachgehen.

          • Chrys schrieb (10. Oktober 2014 15:21):
            > Eine Friedmannsche Raumzeit (M,g) ist technisch ein warped product zweier Riemannscher Räume, einer 1-dim. „Zeit“ (I,dt²) und

            … an dieser Stelle hätte ich die symbolische Darstellung etwa als
            „(I,(d/dt)²)“
            verständlicher gefunden …

            > einem 3-dim. „Universum“ (U,h) mit der Warpfunktion R(t), sodass

            > M = I × U und g = dt² – R(t)² h.

            Oder um Anspielungen auf willkürliche/doofe Koordinaten wenigstens oberflächlich auszumerzen, lieber:

            M = I × U
            und für jedes Element m &in; M:
            g[ m ] = j_1[ i[ m ] ] – (R[ i[ m ] ])² h_3[ u[ m ] ].

            > Das Verlangen, diesen Warp irgendwie als Expansion zu deuten,

            Das würde doch wenigstens (u.a.) erfordern, dass …
            … das/jedes durch U und h_3 „beschriebene Areal“ nicht von vornherein unendlich ist, hinsichtlich der (schon im obigen Beitrag genannten) „kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten„. (Was man mit geeigneten Mitteln eventuell noch genauer ausdrücken könnte.)

            > Um geometr. Grössen in eine Beziehung zu physikal messbaren Grössen zu setzen, müssen sie irgendwie mit physikal. Einheiten versehen werden.

            Das erscheint kaum zwingend. (Vgl. z.B. http://arxiv.org/abs/astro-ph/0703751 ) Ich habe mich ja oben nicht umsonst auf reell-wertige Verhältnisse

            s^2[ A, X ] / s^2[ A, B ]

            usw. bezogen. Das sind ja sicherlich sowohl geometrische als auch physikalisch messbare Größen.

            > Man könnte nun den geodätischen Abstand in (U,h) durch „Meter“ ausdrücken

            Kann man das denn??
            Ich habe schon wiederholt (mich und andere, öffentlich, und vergeblich) gefragt, ob die Beschreibung in der „SI-Meter-Definition“ mit

            the path travelled by light in vacuum during a time interval of […]

            z.B. die Forderung einschließt, dass die beiden Enden des erwähnten „Pfadesgegenüber einander ruhten, oder nicht.

            > aber so endet man nur bei der comoving distance, bezüglich der nichts expandiert (und von der man auch nicht recht wüsste, wie man sie konkret messen sollte).

            Ach so.

            > Also werden die „Meter“ stattdessen dem Skalenfaktor R zugeschlagen

            … was nicht unbedingt meine Frage zur „Meter“-Defnition beantwortet;
            aber, bezogen auf ein „gesamtes durch U und h_3 beschriebenes endliches Areal“, würde ich dessen eventuelle Expansion (bzgl. der eindimensional geordneten Menge I) sicherlich auch dem Skalenfaktor R zugeschlagen.
            (Sicherlich im Einklang mit der allgemeineren oben, 9. Oktober 2014 16:11, skizzierten Definition.)

            > was durch ein Abstandsmass wie den Leichtkraftabstand d zu rechtfertigen ist […]

            Das unterstellt, dass „Leuchtkraftabstand“ überhaupt nachvollziehbar wäre, und sich für irgendwelche Rechtfertigungen eignen könnte, ohne bzw. bevorAbstand“ oder „Distanz“ an sich als (geometrische, physikalische) Messgröße(n) definiert wäre(n).

          • Chrys schrieb (10. Oktober 2014 15:21):
            > Eine Friedmannsche Raumzeit (M,g) ist technisch ein warped product zweier Riemannscher Räume, einer 1-dim. „Zeit“ (I,dt²) und

            … an dieser Stelle hätte ich die symbolische Darstellung etwa als
            „(I,(d/dt)²)“
            verständlicher gefunden …

            > einem 3-dim. „Universum“ (U,h) mit der Warpfunktion R(t), sodass

            > M = I × U und g = dt² – R(t)² h.

            Oder um Anspielungen auf willkürliche/doofe Koordinaten wenigstens
            oberflächlich auszumerzen, lieber:

            M = I × U
            und für jedes Element m &in; M:
            g[ m ] = j_1[ i[ m ] ] – (R[ i[ m ] ])² h_3[ u[ m ] ].

            > Das Verlangen, diesen Warp irgendwie als Expansion zu deuten,

            Das würde doch wenigstens (u.a.) erfordern, dass …
            … das/jedes durch U und h_3 „beschriebene Areal“ nicht von
            vornherein unendlich ist, hinsichtlich der (schon im obigen Beitrag
            genannten) „kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten„. (Was
            man mit
            geeigneten Mitteln
            eventuell noch genauer ausdrücken könnte.)

            > Um geometr. Grössen in eine Beziehung zu physikal messbaren Grössen zu setzen, müssen sie irgendwie mit physikal. Einheiten versehen werden.

            Das erscheint kaum zwingend. (Vgl. z.B.
            http://arxiv.org/abs/astro-ph/0703751 ) Ich habe mich ja oben nicht
            umsonst auf reell-wertige Verhältnisse

            s^2[ A, X ] / s^2[ A, B ]

            usw. bezogen. Das sind ja sicherlich sowohl geometrische als auch
            physikalisch messbare Größen.

            > Man könnte nun den geodätischen Abstand in (U,h) durch „Meter“ ausdrücken

            Kann man das denn??
            Ich habe schon wiederholt (mich und andere, öffentlich, und
            vergeblich) gefragt, ob die
            Beschreibung in der „SI-Meter-Definition“ mit

            the path
            travelled by light in vacuum during a time interval of
            […]

            z.B. die Forderung einschließt, dass die
            beiden Enden des erwähnten „Pfadesgegenüber einander
            ruhten
            , oder nicht.

            > aber so endet man nur bei der comoving distance, bezüglich der nichts expandiert (und von der man auch nicht recht wüsste, wie man sie konkret messen sollte).

            Ach so.

            > Also werden die „Meter“ stattdessen dem Skalenfaktor R zugeschlagen

            … was nicht unbedingt meine Frage zur „Meter“-Defnition beantwortet;
            aber, bezogen auf ein „gesamtes durch U und h_3 beschriebenes
            endliches Areal“, würde ich dessen eventuelle Expansion (bzgl.
            der eindimensional geordneten Menge I) sicherlich auch dem
            Skalenfaktor R zugeschlagen.
            (Sicherlich im Einklang mit der allgemeineren oben, 9. Oktober 2014
            16:11, skizzierten Definition.)

            > was durch ein Abstandsmass wie den Leichtkraftabstand d zu rechtfertigen ist […]

            Das unterstellt, dass „Leuchtkraftabstand“ überhaupt
            nachvollziehbar wäre, und sich für irgendwelche Rechtfertigungen
            eignen könnte, ohne bzw. bevorAbstand“ oder „Distanz“
            an sich als (geometrische, physikalische) Messgröße(n) definiert
            wäre(n).

          • Chrys schrieb (10. Oktober 2014 15:21):
            > Eine Friedmannsche Raumzeit (M,g) ist technisch ein warped product zweier Riemannscher Räume, einer 1-dim. „Zeit“ (I,dt²) und

            … an dieser Stelle hätte ich die symbolische Darstellung etwa als
            „(I,(d/dt)²)“
            verständlicher gefunden …

            > einem 3-dim. „Universum“ (U,h) mit der Warpfunktion R(t), sodass

            > M = I × U und g = dt² – R(t)² h.

            Oder um Anspielungen auf willkürliche/doofe Koordinaten wenigstens
            oberflächlich auszumerzen, lieber:

            M = I × U
            und für jedes Element m &in; M:
            g[ m ] = j_1[ i[ m ] ] – (R[ i[ m ] ])² h_3[ u[ m ] ].

            > Das Verlangen, diesen Warp irgendwie als Expansion zu deuten,

            Das würde doch wenigstens (u.a.) erfordern, dass …
            … das/jedes durch U und h_3 „beschriebene Areal“ nicht von
            vornherein unendlich ist, hinsichtlich der (schon im obigen Beitrag
            genannten) „kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten„. (Was
            man [[Riemannsche_Mannigfaltigkeit#Riemannsche_Mannigfaltigkeiten_als_metrische_R.C3.A4ume|mit
            geeigneten Mitteln]] eventuell noch genauer ausdrücken könnte.)

            > Um geometr. Grössen in eine Beziehung zu physikal messbaren Grössen zu setzen, müssen sie irgendwie mit physikal. Einheiten versehen werden.

            Das erscheint kaum zwingend. (Vgl. z.B.
            [[arxiv.org/abs/astro-ph/0703751]] ) Ich habe mich ja oben nicht
            umsonst auf reell-wertige Verhältnisse

            s^2[ A, X ] / s^2[ A, B ]

            usw. bezogen. Das sind ja sicherlich sowohl geometrische als auch
            physikalisch messbare Größen.

            > Man könnte nun den geodätischen Abstand in (U,h) durch „Meter“ ausdrücken

            Kann man das denn??
            Ich habe schon wiederholt (mich und andere, öffentlich, und
            vergeblich) gefragt, ob die
            Beschreibung in der „SI-Meter-Definition“ mit

            the path
            travelled by light in vacuum during a time interval of
            […]

            z.B. die Forderung einschließt, dass die
            beiden Enden des erwähnten „Pfadesgegenüber einander
            ruhten
            , oder nicht.

            > aber so endet man nur bei der comoving distance, bezüglich der nichts expandiert (und von der man auch nicht recht wüsste, wie man sie konkret messen sollte).

            Ach so.

            > Also werden die „Meter“ stattdessen dem Skalenfaktor R zugeschlagen

            … was nicht unbedingt meine Frage zur „Meter“-Defnition beantwortet;
            aber, bezogen auf ein „gesamtes durch U und h_3 beschriebenes
            endliches Areal“, würde ich dessen eventuelle Expansion (bzgl.
            der eindimensional geordneten Menge I) sicherlich auch dem
            Skalenfaktor R zugeschlagen.
            (Sicherlich im Einklang mit der allgemeineren oben, 9. Oktober 2014
            16:11, skizzierten Definition.)

            > was durch ein Abstandsmass wie den Leichtkraftabstand d zu rechtfertigen ist […]

            Das unterstellt, dass „Leuchtkraftabstand“ überhaupt
            nachvollziehbar wäre, und sich für irgendwelche Rechtfertigungen
            eignen könnte, ohne bzw. bevorAbstand“ oder „Distanz“
            an sich als (geometrische, physikalische) Messgröße(n) definiert
            wäre(n).

          • @Frank Wappler
            Nachvollziehbar ist meines Erachtens jedenfalls, dass Lemaître durch Hubble, den er ja namentlich anführt, auf seine Idee vom expanierenden Universum gekommen ist. Mit der üblichen Einheit (km/s)/Mpc für den Hubble Parameter H liegt die Expansion gewissermassen auf der Hand, auch wenn Hubble selbst das nicht so verstanden wissen wollte. Das Hubble Gesetz, v = Hd, wurde nun rein empirisch aufgestellt, der darin auftretende Abstand d hat daher zunächst auch nichts mit relativist. Distanzmessungen zu tun, sondern ist ein astronom. Abstandsmass. Und gemessen wird da nichts anderes als Redshift und scheinbare Helligkeit von astronom. Standardkerzen. Der Leuchtkraftabstand ist ganz einfach als ein für astronom. Zwecke eingeführter Abstandsbegriff zu verstehen, wo per conventionem das ein Abstand genannt wird, was den Unterschied zwischen absoluter und scheinbarer Helligkeit ausmacht.

            Lemaître hat im Prinzip gemerkt, dass das R(t) aus der Friedmann Metrik, das er „Radius des Universums“ (zur Zeit t) nennt, durch R’/R = H zum Hubble Parameter in Beziehung gesetzt werden kann. Dazu muss er jedoch das R als atronom. Abstand deuten, und das tut er auch, indem er ihm die Einheit parsec verpasst. Damit transportiert er praktisch einen astronom. Abstand in die RT. Häufig wird es umgekehrt dargestellt, dass nämlich das d im Hubble Gesetz als „proper distance“ aus der RT erhalten wird. Das halte ich für falsch, weil „proper distance“ gar kein Abstandsmass auf dem Friedmann Universum U liefert, sondern vielmehr eine einparametrige Familie von Abstandsmassen mit der kosmolog. Zeit t als Parameter. Wer dergestalt mit zeitabhängig variablen Massstäben misst, muss sich nicht wundern, dass die gemessenen Abstandswerte zweier stationärer Punkte in U ebenfalls zeitabhängig variieren. Aber dann von „Expansion“ zu reden, falls diese Werte monoton mit t anwachsen, ist schlicht unsinnig.

          • Chrys schrieb (17. Oktober 2014 21:23):
            > […] die gemessenen Abstandswerte zweier stationärer Punkte in U […]

            Demgegenüber möchte ich nochmals betonen, dass in der Physik zuerst die Messung geometrischer bzw. kinematischer Beziehungen zwischen Beteiligten („materiellen Punkten“, „Beobachtern“,
            „principal identifiable points“) kommt;
            und erst danach, wenn überhaupt, deren eventuelle Bestreußelung mit stationären (konstanten) oder variablen Koordinaten-Tupeln,
            bzw. die eventuelle Bestreußelung aller unterscheidbarer (Koinzidenz-)Ereignisse, an denen die
            verschiedene Teilmengen dieser identifizierbaren Beteiligten teilnahmen, mit irgendwelchen
            (eindeutigen, aber ansonsten prinzipiell beliebigen) Koordinaten-Tupeln.

            Sicherlich können „stationäre Punkte in U“ bestimmten Beteiligten zugeordnet werden, weil
            oder sofern jeder „stationäre Punkt in U“ hinsichtlich der Gesamtmannigfaltigkeit M = I × U eine „zeitartige Weltlinie“ darstellt;
            und sicherlich können verschiedene „stationäre Punkte in U“ insbesondere solchen Beteiligten zugeordnet werden, die sich nicht trafen, weil oder sofern diese Weltlinien eine sogenannte congruence bilden.

            Falls es noch weitergehende Forderungen gäbe, die erfüllt sein müssten, um einem bestimmten
            Beteiligten einen „stationären Punkt in U“ zuzuordnen,
            weiß ich leider nicht, wie diese nachvollziehbar auszudrücken wären
            (d.h., um Einsteins Formulierung zu benutzen, aus „Bestimmungen zeiträumlicher Koinzidenzen„, oder zumindest unter Verwendung von reell-wertigen, messbaren „Intervall-Verhältnissen“ wie
            s^2[ A, X ] / s^2[ A, B ]
            ).

            > […] Abstand d hat daher zunächst auch nichts mit relativist. Distanzmessungen zu tun, sondern ist ein astronom. Abstandsmass. Und gemessen wird da nichts anderes als Redshift und

            Redshift messen“ bedeutet doch, das reell-wertige Verhältnis der (Sende-)Frequenz einer Signalquelle und der (Empfangs-)Frequenz eines Detektors (der die Signalanzeigen wahrnahm) zu ermitteln; und zwar insbesondere betreffend Versuche, in denen Sender und Empfänger voneinander getrennt waren.

            Dazu ist es aber (zuerst) erforderlich, die geometrischen bzw. kinematischen Beziehungen zwischen Sender und Empfänger zu ermitteln (d.h. im einfachsten Falle den Zahlenwert „β“ um die Bewegung der beiden gegenüber einander zu charakterisieren); sowie die „Geometrie der Region“ in der die beiden im betreffenden Versuch enthalten waren (d.h. im einfachsten Falle „flach“).

            > und scheinbare Helligkeit von astronom. Standardkerzen. Der Leuchtkraftabstand ist ganz
            einfach als ein für astronom. Zwecke eingeführter Abstandsbegriff zu verstehen, wo per conventionem das ein Abstand genannt wird, was den Unterschied zwischen absoluter und scheinbarer Helligkeit ausmacht.

            Soso — Was war doch gleich „[[Absolute Helligkeit]]“?
            Und was ist/wie misst man eigentlich „[[Helligkeit]]“ überhaupt? …

            Und reicht es aus, zwei wahrnehmbare Beteiligte gleichermaßen „Standardkerzen“ zu nennen, um zu garantieren, dass beide gleiche „absolute Helligkeit“ hätten?

            Oder kann und muss nicht vielmehr Versuch für Versuch gemessen werden, ob zwei gegebene

            Standardkerzen“ gleiche „absolute Helligkeit“ hatten, bzw. in wie fern nicht?

            (Man erinnert sich, dass ebenso Versuch für Versuch gemessen werden kann und muss, ob ein
            gegebenes Cs_133-Atom „ungestört“ gewesen wäre, oder in wie fern nicht; bzw. ob zwei gegebene, voneinander getrennte Cs_133-Atome beide „ungestört“ oder zumindest beide „gleichermaßen gestört“ gewesen wären, oder in wie fern nicht …)

            > […] die Einheit parsec verpasst.

            Was nicht zuletzt wieder mal die Frage aufwirft:
            Was ist/wie misst man denn überhaupt „[[Winkel]]“ ??

            p.s.

            $latex <insert_LaTeX_commands_here> $ – Test:

            $latex \text{ArcSin}[ ~ \frac{1}{2} ~ \sqrt{2 + 2 \left( \frac{AC}{AB} \right)^2 + 2 \left( \frac{AC}{BC} \right)^2 – \left( \frac{AB}{BC} \right)^2 – \left( \frac{BC}{AB} \right)^2 – \left( \frac{AC}{AB} \right)^2 \left( \frac{AC}{BC} \right)^2 } ~ ] $.

          • @Frank Wappler
            Beschwerden über die Praxis kosmologischer Distanzmessung wären dann bei der kosmologischen Fakultät einzureichen. Einem solchen Vorhaben würde ich allerdings wenig Aussicht auf Erfolg einräumen. Die Kosmologen sind daran gewöhnt, mit Dutzenden von unterschiedlichsten Abstandsmassen zu hantieren, und das wird gewiss einstweilen so bleiben — sozusagen nach dem Motto „F… the SI.“

          • Apropos „Motto„:

            Zeige Studenten, was die Fakultät für eine „Standardkerze“ hält, und sie werden ihre
            Prüfungen bestehen; zumindest solange die ausgewiesene „Standardkerze“ noch erkennbar wäre.

            Lehre Studenten, wie man Kerzen überhaupt miteinander vergleicht, und wie man auf dieser Grundlage systematische Vertrauensbereiche von Ergebnissen ermittelt (falls man sich in der Praxis nur Abschätzungen leisten kann, und keine definitionsgemäßen Messungen), und sie können es nachfolgenden Generationen von Studenten noch genauso lehren; auch wenn die besagte „Standardkerze“ bzw. Fakultät längst verloschen sein wird.

            (Gilt für jedes Exemplar irgendwelcher sogenannter „Standard“-Artefakte; substituiere ggf.
            „zerkrümelt“ für „verlöschen“.)

          • \( <insert_LaTeX_commands_here> \) – Test:

            \( \text{ArcSin}[ ~ \frac{1}{2} ~ \sqrt{2 + 2 \left( \frac{AC}{AB} \right)^2 + 2 \left( \frac{AC}{BC} \right)^2 – \left( \frac{AB}{BC} \right)^2 – \left( \frac{BC}{AB} \right)^2 – \left( \frac{AC}{AB} \right)^2 \left( \frac{AC}{BC} \right)^2 } ~ ] \).

            $latex <insert_LaTeX_commands_here> $ – Test:

            $latex \text{ArcSin}[ ~ \frac{1}{2} ~ \sqrt{2 + 2 \left( \frac{AC}{AB} \right)^2 + 2 \left( \frac{AC}{BC} \right)^2 – \left( \frac{AB}{BC} \right)^2 – \left( \frac{BC}{AB} \right)^2 – \left( \frac{AC}{AB} \right)^2 \left( \frac{AC}{BC} \right)^2 } ~ ] $.

  4. Chrys schrieb (17. September 2014 16:10):
    > die Kosmologen führen dabei ihren Dichteparameter Ω ein, der dann mit dem k über die Friedmann-Gleichung verknüpft ist […]

    Dabei ist doch sogar in Riemanns „legendärem“ Habilitationsvortrag [ vgl. http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/Geom.html unter Vorbehalt eventueller Typos ] ausdrücklich von „Länge“ die Rede; und von „Verhältnissen“ und dass „jede Linie durch jede Messbar sei„.

    Aber eben (leider) auch von „rechtwinklige[n] Coordinaten“ …

  5. Joe Dramiga schrieb (16. September 2014):
    > Im ersten der zwei Teile dieses Habilitationsvortrag untersucht Riemann, wie man einen
    n-dimensionalen Raum definieren kann und gibt die Definition dessen, was heute nach ihm
    „Riemannsche Fläche“ genannt wird.

    > Er untersucht kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten auf gekrümmten Flächen beliebiger Dimension (heute „Geodätische“ genannt). […]

    > Einstein hat für die ART die pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit erfunden, dabei handelt es
    sich um eine Modifizierung der riemannschen Mannigfaltigkeit, die zu veränderten geometrischen Eigenscha[f]ten führt.

    Hatte Riemann (in seinem Habilitationsvortrag, oder auch ansonsten) sich denn überhaupt auf
    bestimmte „geometrische Eigenschaften“ von „Flächen“ festgelegt,
    so dass von deren eventueller „Veränderung“ die Rede sein könnte?

    Forderte er etwa, dass die „kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten auf gekrümmten
    Flächen
    “ für Paare unterscheidbarer „Punkte“ stets von Null verschiedene Werte von
    Länge“ zu haben hätten?

    Oder dass das Verhältnis zweier (von Null verschiedener) „Längen„-Werte stets eine
    positive reelle Zahl zu sein hätte?

    Und/oder dass die „Coordinaten„-Werte, die Riemann in Betracht zog, ausschließlich reelle
    Zahlen zu sein hätten, und nicht imaginäre oder komplexe Zahlen ??

    Falls nicht, dann kann man durchaus auch Riemann selbst als Erfinder der pseudo-Riemannschen
    Mannigfaltigkeit gelten lassen.

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